Задача 6: шарик падает на массивную плиту


рисунок к задачеНебольшой шарик падает из точки A на массивную плиту, закрепленную на высоте h = 1,0 м от поверхности земли и ориентированную под углом α = 45° к горизонту. После упругого отражения от плиты шарик падает на поверхность земли в точке C на расстоянии S = 4,0 м от вертикальной прямой AB.

  • Найдите время движения шарика до удара о землю.
  • На какой высоте необходимо расположить плиту (не меняя ее ориентации), чтобы расстояние S было максимально при неизменном начальном положении шарика в точке A?
  • Чему равно в этом случае максимальное расстояние? Сопротивлением воздуха пренебречь.



Решение:

Так как плита наклонена под углом 45° к горизонту, то после удара скорость шарика v будет направлена горизонтально. Поэтому движение шарика после удара описывается уравнениями:
S = v1t2,
h =gt22,     (1)
 2 
где t2 — время движения от удара о плиту до падения на землю. Из системы уравнений (1) находим:
t2 = √2h;     v1 = S√g.     (2)
g2h
Зная скорость шарика перед ударом о плиту, найдем время его движения от начальной точки A до удара:
 t1 =v1= S.     (3)
g √(2gh)
Полное время движения шарика рассчитаем по формуле:
t = t1 + t2 = S+ √(2h) ≈ 1,35 c.     (4)
√(2gh)g
Используя выражение (3), найдем высоту H точки A над уровнем земли:
H = h + gt12= h + S2= 5 (м).     (5)
 2 4h
Найдем высоту ho, на которой необходимо расположить плиту, чтобы дальность полета S была максимальна. Пройдя в свободном падении путь (H − ho), шарик наберет скорость v1 = √(2g(H − ho)). Как следует из формул (2), после отражения он пролетит до падения на землю расстояние:
S = v1√(2ho) = 2√(ho(H − ho)).     (6)
g 
Подкоренное выражение представляет собой квадратную функцию от ho, которая в данном случае достигает максимума при:
ho = H= 2,5 (м),
2
при этом:
smax = H = 5,0 (м).


Далее: смеситель горячей и холодной воды   [тема: многоступенчатые задачи]


Теги: