Модели корабля толчком сообщили скорость
vo = 10 м/с. При движении модели на нее действует сила сопротивления, пропорциональная скорости:
F = −kv.
- Найдите путь, пройденный моделью за время, в течение которого ее скорость уменьшилась вдвое.
- Найти путь, пройденный моделью до полной остановки.
- Какое время пройдет до полной остановки корабля? Считать k = 0,5 кг/с. Масса модели m = 0,5 кг.
Решение:
Согласно второму закону Ньютона изменение импульса корабля за малое время
Δt равно импульсу силы
F, действующей на корабль:
Сила
F переменна, поэтому изменение импульса корабля за большой промежуток времени
t равно импульсу средней силы <F>:
Так как сила F пропорциональна скорости корабля, то:
и
Но произведение
<v>t равно пути
S, пройденному кораблем. Поэтому:
откуда:
Теперь легко найти путь, пройденный кораблем за время, в течение которого скорость корабля уменьшилась вдвое:
и путь, пройденный кораблем до полной остановки:
Задача решена, однако интересно рассмотреть еще вопрос о том, какое время пройдет до полной остановки корабля. Для этого найдем, как меняется со временем скорость корабля.
Так как:
и
то:
Мы получили, что скорость изменения скорости корабля пропорциональна самой скорости. Но, как известно, если изменение какой-либо величины пропорционально самой этой величине, то такая величина изменяется по экспоненциальному закону, поэтому:
Из этой формулы следует, что
v = 0 при
t → ∞! То есть путь
S2 корабль мог бы пройти за бесконечно большое время! Это означает, что второй вопрос задачи при условии
F ~ v следует уточнить. Будем считать, что тело остановилось, если его скорость уменьшилась, например, в тысячу раз (число может быть, конечно, и другим; все зависит от цели эксперимента).
Примечание. В одной задаче модель, движение с сопротивлением и парадокс.
Далее: лампочка и увеличенная батарейка [тема: задачи - модели]