Задача 5: сила трения и график зависимости ускорения от силы

К бруску массой 10 кг, находящемуся на горизонтальной поверхности, приложена сила. Учитывая, что коэффициент трения равен 0,7, определите:
  1. силу трения для случая, если F = 50 Н и направлена горизонтально;
  2. силу трения для случая, если F = 80 Н и направлена горизонтально;
  3. построить график зависимости ускорения бруска от горизонтально приложенной силы;
  4. с какой минимальной силой нужно тянуть за веревку, чтобы равномерно перемещать брусок?



Решение:

рисунок

1. Определим максимальную силу трения покоя. Она будет равна:

μmg = 0,7×10×10 = 70 (H).
Приложенной силы будет недостаточно для того, чтобы сдвинуть тело. По третьему закону Ньютона F = Fmp = 50 H.

2. В случае приложенной силы F = 80 Н тело приобретает ускорение, равное:

a = F − Fmp= 1 м/с2.
m

3. Для построения зависимости a(F) воспользуемся функцией:

a = F − Fmp= F − μmg=F− μg.     (1)
mmm
Из уравнения (1) можно сделать вывод, что зависимость ускорения от горизонтально приложенной силы линейная.
При F = 0   a = −μg, а при a = 0   F = μmg. Построим график зависимости a(F), см. рисунок.

рисунок4. Запишем уравнение движения санок в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления:

−Fmp + F cos α = 0
и
−mg + N + F sin α = 0,
где α — угол между веревкой и горизонтом, а сила трения равна Fmp = μN. Из записанных уравнений найдем силу натяжения веревки:
F = μmg.     (2)
cos α + μ • sin α

Ее значение зависит от угла α. Проанализируем эту зависимость. Тело будет двигаться равномерно, если горизонтальная составляющая силы натяжения веревки Fcos α равна силе трения Fmp. Поэтому для обеспечения минимальной силы F веревку, казалось бы, надо тянуть горизонтально, т. е. под углом α = 0°. Но с другой стороны, желательно, чтобы угол α был побольше, так как в этом случае за счет увеличения вертикальной составляющей Fsin α, стремящейся приподнять санки, уменьшается их давление на опору, и соответственно уменьшается сила трения.

рисунокТаким образом, на результат влияют два конкурирующих фактора. Для выяснения, при каких α превалирует первый из них, а при каких — второй, представим зависимость F = F(α) в виде графика. Из него видно, что исследуемая функция при α = αо имеет минимум. Для нахождения значений αо и Fmin воспользуемся аналитическим методом. Функция (2) минимальна, когда знаменатель максимален. Обозначим знаменатель буквой y. Найдем производную y' по α и приравняем ее к нулю:

y' = −sin α + μ cos α = 0.
Отсюда, обозначив соответствующий угол как αо, получим:
tg αо = μ
и
αо + arctg μ = 35°.
Тогда:
Fmin = μmg.
cos αo + μsin αo
Используя тригонометрические соотношения и предыдущее равенство, найдем:
cos αo = 1= 1 ,
√(tg2αo + 1)√(μ2 + 1)
sin αo =tg αo=μ .
√(tg2αo + 1)√(μ2 + 1)
Следовательно:
Fmin=μmg = 56 H.
√(μ2 + 1)


Далее: зависимость потока воды от температуры   [тема: графическое решение задач по физике]