Задача 1: минимальная скорость, необходимая для полного оборота шара

Шар подвешен на невесомой нерастяжимой нити длиной l = 0,5 м. Какую минимальную горизонтально направленную скорость vo надо сообщить шару, чтобы он сделал полный оборот в вертикальной плоскости?

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 25 мая 2007 года.



Решение:

Воспользуемся законом сохранения механической энергии при переходе шарика из нижнего положения в верхнее:

mvo2 = mg • 2l + mv2    (1),
2  2

где l — длина подвеса или нерастяжимой нити.

В верхней точке на шарик будут действовать 2 силы: сила тяжести mg (направлена вниз) и сила натяжения нити T (также направлена вниз). Эти силы сообщают шарику центростремительное ускорение, направленное вниз — к точке подвеса:

maц = mg + T

Поскольку шарик достиг верхней точки (T = 0, условие задачи), то

mv2 = mg
l
отсюда

v2 = gl    (2).

Сделаем подстановку (2) в (1), получим

mvo2 = 2mgl + mgl
2  2

vo2 = g4l + gl = 5gl.

vo = √(5gl)

Выполнив вычисления, получим: vo = √(5×10×0,5) = 5 (м/с).

Ответ: если шарик подвешен на нерастяжимой нити, его скорость должна составлять не менее 5 м/с.

Примечание: если шар подвешен на жестком стержне, то в верхней точке скорость v может обратиться в нуль, тогда из (1)

mvo2 = mg•2l,    отсюда
2 

vo2 = 4gl,

vo = √(4gl) = 2√(gl)

Произведя вычисления, получим: vo = 2×√(10×0,5) = 4,47 (м/с).



Далее: гвоздь с грузом вбивают в бревно   [тема: закон сохранения энергии]

Объясните непонятливому. Почему, если подвешен на жестком стержне, то обязательно V = 0 в верхней точке?
Если подвешен на нити, то скорость должна быть достаточной, чтобы шар в верхней точке не упал вниз (т.е. чтобы центробежная сила была больше силы тяжести). Если же шар подвешен на жестком стержне, то согнуться он не может, поэтому центробежная сила может быть нулевой, что происходит при нулевой скорости шара.

(Для наглядности можно посоветовать повращать в вертикальной плоскости швабру [поперечина на жестком стержне] и такую же деревяшку-поперечину на обычной веревке).

в самой первой формуле откуда взялось: mg • 2l ?
Расстояние между нижней и верхней точками окружности — это диаметр. Другие словами, два радиуса (две длины нити).

mgh — потенциальная энергия.

1. Откуда взялось 10 в выражении vo = ?(5 × 10 × 0,5), т. е. почему g = 10? g — это ускорение или что-то другое?

2. Что за скорость v и чему она равна?

3. Что такое mv2 и mvo?

4. Что такое gl и mgl ?

1. 10 — это ускорение свободного падения.

2. v — это скорость в верхнем положении. Имеется в виду, когда шарик пройдёт половину половину окружности, у него будет скорость v. Скорость v = √(gl). Нашли мы её так: maц = mg + T, откуда a (ускорение) = v2 / l   (центростремительное ускорение).

3 и 4. Сообщив шарику скорость vo, возникает кинетическая энергия, которая равна mvo2/2. Так как система замкнутая, кинетическая энергия превращается в потенциальную — mg × 2l   и кинетическую — mv2/2.