Задача 3: "черный ящик" с батарейкой и двумя сопротивлениями

В «чёрном ящике» с тремя контактами находится схема, составленная из батарейки с известной ЭДС E, двух неизвестных сопротивлений и соединительных проводов. Амперметр, подключённый к контактам 1 и 2, показывает значение тока I, к контактам 1 и 3 — ток 2I, а к контактам 2 и 3 — отсутствие тока. Чему могут быть равны величины сопротивлений? Сопротивлением батарейки, амперметра и соединительных проводов пренебречь.

(Задача московской олимпиады 1999 г. 9 класс).

Решение:

1) Из условия задачи вытекает, что:

• никакие две клеммы не могут быть подключены только к батарейке (иначе бы амперметр при подключении к этим клеммам зашкаливало);
• никакие две клеммы не могут быть соединены друг с другом только соединительным проводом (иначе бы два тока из трёх совпадали).

Поэтому невозможны следующие схемы, изображённые на рисунке 1 (слева).

2) Далее, если схема состоит из нескольких отдельных частей, то все три клеммы должны быть подключены к той её части, которая содержит батарейку. Поэтому с учётом изложенного в пункте 1, также невозможны следующие схемы (см. рис. 2, слева).

3) В итоге нам осталось рассмотреть следующие схемы (см. рис. 3).

Поскольку между клеммами 2 и 3 включено только сопротивление, то в случаях (а) и (б) клеммы 1, 2 и 3 могут располагаться так, как показано на рисунке 4.

Заметим, что схемы 1, 2, 6 эквивалентны друг другу (также эквивалентны друг другу схемы 3, 4, 5). Поэтому для решения задачи достаточно рассмотреть всего три схемы — по одной, соответствующей случаям, изображённым на рисунках 3.а и 3.б (например, схемы 1 и 4 с рисунка 4) и схему с рисунка 3.в.

Проделаем это. Запишем (с учётом условия задачи) закон Ома для первой схемы (рисунок 4):

I =	E	,
	R1

2I =	E	.
	R1 + R2

При решении этой системы уравнений значение R₂ получается отрицательным. Значит, такое соединение невозможно. Аналогично для второй схемы (рисунок 4):

I =	E	,
	R1 + R2

2I =	E	.
	R1

Отсюда получаем:

R1 = R2 =	E	.
	2I

Наконец, для последней схемы (рисунок 3.в):

2I =	E	,
	R1

I =	E	,
	R2

откуда:

R1 =	E	,
	2I

R2 =	E	.
	I

В итоге получаем, что величины сопротивлений могут быть равны:

R1 = R2 =	E
	2I

(батарейка и сопротивления соединены последовательно) или:

R1 =	E	и     R2 =	E
	2I		I

(батарейка и сопротивления соединены «звездой»).

Далее: "черный ящик" со схемой из резисторов   [тема: задачи на "черные ящики"]

---